Butunni teng boʻlaklarga boʻlishni, kasrlarni oʻqish, taqqoslash, qisqartirish, qoʻshish va ayirishni bosqichma-bosqich oʻrganamiz. Har bir mavzudan keyin — qiziqarli savol, darhol javob va tushuntirish.
Butun sonlar hamma narsani ifodalay olmaydi. Yarim olma, chorak soat, uchdan bir stakan — bularni qanday yozamiz? Bu boʻlimda kasr tushunchasini eng boshidan, bosqichma-bosqich oʻrganamiz.
Bilmasvoyning tugʻilgan kuni. Stolda bitta tort turibdi, mehmon esa toʻrtta. “Har birimizga bittadan tort yoʻq-ku!” — deydi doʻsti. Bilmasvoy pichoqni oladi va tortni 4 ta teng boʻlakka boʻladi. Endi har kimga bitta boʻlak tegadi. Ana shu boʻlakning nomi bor: 1/4 — “toʻrtdan bir”.
💡 Demak, kasr — bu butunni teng boʻlaklarga boʻlganda paydo boʻladigan son.
Kasr — butunning teng boʻlaklaridan birini yoki bir nechtasini ifodalovchi son.
U a/b koʻrinishida yoziladi, bunda b ≠ 0.
a — surat (butundan nechta boʻlak olindi),
b — maxraj (butun nechta teng boʻlakka boʻlindi).
Pastdagi son — pitsani nechaga kesganingiz.
Yuqoridagi son — siz nechtasini olganingiz.
Pitsa 8 ga kesildi, siz 3 tasini oldingiz → 3/8.
Kasr — faqat darslikdagi mavzu emas. Siz uni har kuni, hatto sezmagan holda ishlatasiz:
“Chorak kam olti” — bu 1/4 soat, yaʼni 15 daqiqa. “Yarim kecha” — kunning 1/2 si.
Retseptlarda: 1/2 stakan shakar, 3/4 choy qoshiq tuz. Kasrsiz non yopib boʻlmaydi!
Futbol oʻyini 2 ta yarim (taym) dan iborat. Basketbolda esa 4 ta chorak bor.
Notalar butun, yarim, chorak va sakkizdan bir deb ataladi. Musiqa — bu tovushdagi kasrlar.
“50% chegirma” — narxning 1/2 si. “25%” — 1/4 qismi. Foiz ham aslida kasr.
Yarim metr, chorak kilogramm, yarim litr — doʻkonda kasrsiz savdo qilib boʻlmaydi.
Kasrlarni birinchi boʻlib qadimgi Misrliklar 4000 yil oldin ishlatishgan. Ular deyarli faqat surati 1 boʻlgan kasrlarni (1/2, 1/3, 1/4 …) tan olishgan va 3/4 ni 1/2 + 1/4 koʻrinishida yozishgan! Bizning hozirgi kasr yozuvimizni esa al-Xorazmiy va boshqa musulmon olimlari asarlari orqali Yevropa oʻrgangan.
Kasr haqida gapirishdan oldin nimani boʻlayotganimizni aniq bilishimiz kerak. Ana shu boʻlinayotgan narsa butun deb ataladi. Butun har xil koʻrinishda boʻlishi mumkin:
Bitta tort, bitta olma, bitta qogʻoz varaq. Uni kesib, boʻlaklarga ajratamiz.
6 ta olma ham bitta butun boʻla oladi. Unda 1 ta olma — butunning 1/6 qismi.
1 soat, 1 metr, 1 litr, 1 kilogramm. Bularni ham boʻlaklarga ajratish mumkin.
Butunni teng boʻlaklarga ajratsak — boʻlak hosil boʻladi. Kasr esa shu boʻlaklarni son bilan yozishga yordam beradi. Boshqacha aytganda:
✅ Toʻgʻri
Toʻrtta teng boʻlak. Bittasi = 1/4
❌ Notoʻgʻri
Boʻlaklar har xil. Buni 1/4 deb boʻlmaydi!
Bir xil kasrni butunlay boshqacha rasm bilan koʻrsatish mumkin. Rasm oʻzgaradi, lekin maʼnosi oʻzgarmaydi: “butun 4 ta teng boʻlakka boʻlindi, shundan 3 tasi olindi”. Quyida 3/4 kasrining toʻrtta koʻrinishi berilgan — har birida butun nima ekaniga eʼtibor bering, chunki asosiy farq shunda.
Butun — butun doira. Boʻlak — bitta sektor (“tilim”).
Doira yopiq shakl boʻlgani uchun butunning qayerda tugashi darrov koʻrinadi. Shuning uchun kasr bilan tanishishda eng qulay model shu.
Oʻqilishi: 4 ta tilimdan 3 tasi boʻyalgan → 3/4
🍕 Hayotda: tort, pitsa, soat siferblati
Butun — lentaning butun uzunligi. Boʻlak — bitta katakcha.
Lentalarni bir-birining ustiga qoʻyib solishtirish oson. Shuning uchun bu model kasrlarni taqqoslash, qoʻshish va ayirishda eng koʻp ishlatiladi.
Oʻqilishi: 4 ta katakdan 3 tasi toʻlgan → 3/4
📏 Hayotda: shokolad plitkasi, chizgʻich, yoʻl uzunligi
Butun — 4 ta konfetdan iborat guruh. Boʻlak — 1 ta konfet.
Bu yerda hech narsa kesilmaydi! Butun — predmetlar guruhi, kasr esa shu guruhning qanchasi haqida gapiradi. Aynan shu model keyinchalik “sonning kasrini topish”ga olib boradi.
Oʻqilishi: 4 ta konfetdan 3 tasi olindi → 3/4
🍬 Hayotda: sinfdagi oʻquvchilar, savatdagi olmalar, pul
Butun — 0 dan 1 gacha boʻlgan masofa. Boʻlak — shu masofaning 1/4 qismi.
Eng muhim model: u kasr ham oddiy son ekanini koʻrsatadi. Kasrni 1, 2, 3 kabi son oʻqiga qoʻyish mumkin — u shunchaki butun sonlar orasida turadi.
Oʻqilishi: 0 dan 3 ta qadam tashladik, jami 4 ta qadam bor → 3/4
📐 Hayotda: termometr, chizgʻich, tarozi shkalasi
Kasr chizigʻi aslida “:” belgisining oʻzi. Shuning uchun:
3 ta nonni 4 bolaga teng boʻlsak, har biriga 3/4 nondan tegadi. Butun sonlarda bunday boʻlishni bajarib boʻlmaydi — kasrlar aynan shuning uchun kerak boʻlgan.
Maxraj — butun nechaga boʻlinganini bildiradi. “Nolga boʻlish” esa maʼnoga ega emas: tortni 0 ta boʻlakka boʻlib boʻlmaydi.
Diqqat: surat 0 boʻlishi mumkin (0/5 = 0), lekin maxraj — hech qachon.
Bu qoida bolalarga koʻpincha teskari tuyuladi: “8 soni 2 dan katta-ku, unda 1/8 ham 1/2 dan katta emasmi?” Yoʻq! Butun oʻzgarmaydi, faqat u koʻproq kishiga boʻlinadi — demak har kimga kamroq tegadi.
Surat va maxraj teng boʻlsa — butunning hammasi olingan, yaʼni 1 butun.
Surat 0 boʻlsa — hech qanday boʻlak olinmagan, yaʼni hech nima.
Maxraj 1 boʻlsa — butun umuman boʻlinmagan. Demak har qanday butun son ham kasr koʻrinishida yozilishi mumkin.
Tugmalarni bosib surat va maxrajni oʻzgartiring — rasm, oʻqilishi va qiymati darhol yangilanadi.
Rasmda nechta boʻlak boʻyalgan? Bu qaysi kasr?
🍫 Shokolad 5 ta teng boʻlakka boʻlindi. Anvar 2 tasini yedi. U shokoladning qanchasini yedi?
Kasrning pastki soni nima deb ataladi?
🍕 Bitta pitsa 2 kishiga, xuddi shunday ikkinchi pitsa 8 kishiga boʻlindi. Kimning boʻlagi kattaroq?
Oʻzbek tilida avval maxraj, keyin surat aytiladi: “beshdan ikki”.
Masalan: 3/7 → “yettidan uch”. Avval pastdagi son, keyin yuqoridagi son.
| Rasmi | Yozilishi | Oʻqilishi |
|---|---|---|
| 1/2 | ikkidan bir | |
| 1/3 | uchdan bir | |
| 1/4 | toʻrtdan bir | |
| 3/4 | toʻrtdan uch | |
| 2/5 | beshdan ikki | |
| 5/8 | sakkizdan besh |
“Yettidan toʻrt” kasri qanday yoziladi?
🕐 Soat 15 daqiqa yurdi. Bu bir soatning qanchasi?
Ikkita oddiy qoida va bitta ajablanarli hodisa.
Maxrajlar bir xil boʻlsa, surati katta boʻlgan kasr katta.
Boʻlaklar bir xil kattalikda — kimda koʻp boʻlsa, oʻsha yutadi.
Suratlar bir xil boʻlsa, maxraji kichik boʻlgan kasr katta!
Pitsani 2 kishiga boʻlsangiz — katta boʻlak; 8 kishiga boʻlsangiz — kichkina boʻlak. Odam qancha koʻp boʻlsa, ulush shuncha kichik!
0 bilan 1 orasidagi masofa — bu bizning “butun”imiz. Kasr shu masofaning qayerida turishini koʻrsatadi.
Ikkita kasrni tanlang — tarozi qaysi biri ogʻirligini oʻzi aytib beradi.
🍫 Bir xil ikkita shokolad bor. Birinchisi 3 ta boʻlakka, ikkinchisi 6 ta boʻlakka boʻlingan. Qaysi boʻlak kattaroq?
Qaysi qatorda kasrlar oʻsish tartibida (kichikdan kattaga) joylashgan?
Bitta miqdorni turli kasrlar bilan yozish mumkin. 1/2 = 2/4 = 3/6 — bularning hammasi “yarim”!
Surat va maxrajni bir xil songa koʻpaytirsak yoki bir xil songa boʻlsak, kasrning qiymati oʻzgarmaydi.
Xuddi pitsani mayda kesgandek: boʻlaklar koʻpaydi, lekin ovqat miqdori oʻsha-oʻsha.
Qisqartirish — surat va maxrajni umumiy boʻluvchiga boʻlish. Maqsad: kasrni eng sodda koʻrinishga keltirish.
12 va 18 ning eng katta umumiy boʻluvchisi (EKUB) = 6. Ikkalasini 6 ga boʻldik.
Istalgan kasrni kiriting — mashina uni bosqichma-bosqich qisqartirib beradi.
Qaysi kasr 1/3 ga teng?
16/24 kasrini eng sodda koʻrinishga keltiring.
Agar bitta emas, ikkita pitsa boʻlsa-chi?
3/4 — surat maxrajdan kichik. Qiymati har doim 1 dan kichik.
7/4 — surat maxrajdan katta. Bitta butun toʻldi va yana ortdi.
1 3/4 — bitta butun va yana 3/4. Bu 7/4 ning boshqacha yozilishi.
Suratni maxrajga boʻlamiz. Boʻlinma — butun qism, qoldiq — yangi surat.
Butunni maxrajga koʻpaytiramiz va suratni qoʻshamiz.
🍕 Stolda 9 ta pitsa boʻlagi bor. Har bir butun pitsa 4 ta boʻlakdan iborat. Bu nechta pitsa?
3 2/7 aralash sonini notoʻgʻri kasrga aylantiring.
Eng koʻp xato qilinadigan joy shu yerda. Diqqat bilan oʻqing!
Suratlarni qoʻshamiz (yoki ayiramiz), maxrajga tegmaymiz.
Koʻpchilik maxrajlarni ham qoʻshib yuboradi: 2/7 + 3/7 = 5/14 — bu notoʻgʻri!
Oʻylab koʻring: boʻlaklarning kattaligi oʻzgarmadi-ku, faqat soni koʻpaydi. Shuning uchun maxraj oʻsha-oʻsha qoladi.
Avval umumiy maxrajga keltiramiz (EKUK — eng kichik umumiy karrali), keyin qoʻshamiz.
Kasrlarni kiriting — mashina barcha bosqichlarni yozib koʻrsatadi.
3/8 + 4/8 nechaga teng?
🥤 Aziz stakanning 1/4 qismini, Nodira 2/4 qismini ichdi. Stakanda qancha qoldi?
1/2 + 1/4 nechaga teng?
“40 ta olmaning 3/4 qismi” — bu nechta olma?
Sonni maxrajga boʻlamiz, chiqqan natijani suratga koʻpaytiramiz.
1) 120 : 3 = 40 (bir qism nechta bet)
2) 40 · 2 = 80
Javob: 80 bet.
45 : 5 = 9
Javob: 9 tup olma daraxti.
1) Sarflagani: (60 : 5) · 3 = 12 · 3 = 36
2) Qolgani: 60 − 36 = 24
Yoki: qolgan ulush 2/5 → (60 : 5) · 2 = 24
Javob: 24 soʻm.
1) Qizlar: (28 : 7) · 4 = 4 · 4 = 16
2) Oʻgʻillar: 28 − 16 = 12
Javob: 12 ta oʻgʻil bola.
🍎 Savatda 24 ta olma bor. Ularning 1/3 qismi qizil. Nechta qizil olma bor?
🚌 Avtobusda 36 ta oʻrindiq bor, ularning 5/6 qismi band. Nechta boʻsh oʻrindiq qoldi?
Bilimingizni sinab koʻring — bu yerda xato qilish mumkin, qoʻrqmang!
Boʻlaklarni bosib, koʻrsatilgan kasrni yigʻing.
Qaysi kasr kattaroq? 30 soniyada nechtasini topa olasiz?
Bir xil qiymatga ega kartochkalarni juftlab bosing (masalan, 2/4 va 1/2).
Savollar har safar tasodifiy tanlanadi. Oxirida baho va xatolar tahlili koʻrsatiladi.
Tayyormisiz? Test 10 ta savoldan iborat. Har bir savol uchun 1 ball.
Barcha savollarning javoblar kaliti, uy vazifasi va atamalar lugʻati — bir joyda.
2. 6/9 = 2/3; 10/25 = 2/5; 14/21 = 2/3; 8/24 = 1/3
3. 2/9 + 5/9 = 7/9; 7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5; 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
4. (36 : 4) · 3 = 27 ta chiziqli daftar
5. 2 1/5 = 11/5; 4 3/7 = 31/7
